Фрагменти от пространството

Предизвикани размисли
или по-точно: за ъглите,
трансверзалите, ос-отсечките
и разстоянията между
кръстосани прави
Румяна Ангелова, ПГИМ – Пазарджик
Едно от най-често разглежданите взаимни положения на геометрични обекти в пространството е това на кръстосаните прави. Въпросът е сложен, многоаспектен и изисква изясняване и овладяване на понятията: ъгъл между кръстосани прави, трасверзала, ос и ос-отсечка на кръстосани прави. Актуално звучи задачата за намиране на разстоянието /distance/ между кръстосаните прави a и b, d (a; b). Статията разглежда основни подходи за намиране на разстояния между кръстосани прави в зависимост от взаимното им положение, предлага решения на някои популярни и не чак толкова проблема, а също така и задачи за самостоятелна работа - Работен лист. Добре е да се вземат предвид следните факти:
Определение: Две прави в пространството, които не лежат в една равнина се наричат кръстосани.
Определение: Ъгъл между две кръстосани прави се нарича ъгълът между две пресекателни прави, съответно успоредни на двете кръстосани прави.
Определение: Трансверзала на две и повече дадени прави се нарича всяка права, която пресича тези прави:
Определение: Ос на две кръстосани прави се нарича права, която ги пресича и е перпендикулярна на всяка от тях.
Теорема: Две кръстосани прави имат точно една ос.
Определение: Отсечката с краища пресечените точки на две кръстосани прави с тяхната ос се нарича ос-отсечка на две прави.
Теорема: Оста-отсечка на две кръстосани прави е по-малка от всяка друга отсечка с краища върху двете прави.
Дължината на оста-отсечка на две кръстосани прави a и b е най-късото разстояние между тях, за краткост ще го записваме: d (a; b).
В зависимост от поставената задача, разстоянието може да се намери с или без построяване на оста-отсечка.
Разгледаните в статията подходи за намиране на разстоянията между две кръстосани прави се основават на избор на подходяща проекционна равнина.
Първи случай: Нека a и b са кръстосани прави и . Търсим равнина
След като я намерим, определяме пробода на b и ρ т.е. b ρ = т. О. В ρ построяваме: ОН а (Н а). Твърдим, че OH = d(a; b), защото: и а ОН (по построение). Ясно е, че правата е ос на кръстосаните прави a и b. (черт. 1).
Използвайки този алгоритъм и обосновка, лесно можем да решим следните задачи:
Задача 1. В права триъгълна призма ABCA1B1C1 дължините на основните ръбове са АВ = 13, ВС = 14 и СА = 15. Да се намери разстоянието между най-късия основен ръб и неговия кръстосан околен ръб.
Решение:
Ясно е, че трябва да се намери d (AB; CC1) (черт. 2).
Съгласно описания подход тъй като АВ СС1 търсим равнина ρ, която съдържа едната права и е перпендикулярна на другата. Това е равнината ρ = (АВС). CC1 ρ и CC1 ρ = т. С. В ρ построяваме СН АВ (Н АВ). Търсеното разстояние d (AB; CC1) = CH, защото СН АВ (по построение) и CC1 СН, защото CC1 ρ, СН ρ.
След построяването на оста-отсечка и определяне на d (AB; CC1) = CH не е трудно да се изчисли като се изрази SΔABC по два начина: и
Задача 2. Даден е прав паралелепипед ABCDA1B1C1D1, като АВ = а, AD = b, . Да се намери оста на правите, определени от DD1 и AC и разстоянието между тях.
Решение: Правите DD1 и AC са кръстосани и DD1 AC. За да построим оста на DD1 и AC, и да изчислим d (DD1; AC) търсим равнина . Тъй като ABCDA1B1C1D1 е прав паралелепипед, ясно е че това е (ABCD). Прободът на DD1 и избраната равнина е точка D т.е. DD1 (ABCD) = D. В ρ = (ABCD): построяваме DH AC (H AC) (черт.3).
Тогава оста на двете прави е права о DH и DH = d (DD1; AC), защото и о АС (по построение). Търсеното разстояние DH = d (DD1; AC), ще намерим като височина в Δ ACD, като изразим лицето му по два начина:
и , но
Втори случай: Нека a и b са кръстосани прави и a b. В зависимост от геометричната ситуация, за да намерим d (a; b) можем да използваме по някой от следните подходи:
І подход: Търсим равнина . Тогава разстоянието между двете прави е равно на разстоянието от коя да е точка от правата b до равнината ρ (черт. 4).
, защото и
За да получим оста о на кръстосаните прави a и b проектираме ортогонално правата b върху равнината ρ орт. пр.ρ b = b`. Намираме пресечената точка Q` на a и b`, a b` = Q`. В равнината (b, b`) издигаме перпендикуляр QQ` b` (Q b). Правата о = QQ` е ос на кръстосаните прави a и b, QQ` е ос-отсечка, защото от Q`HMQ – правоъгълник (черт. 5).
Задача 3. Всеки ръб на правилната триъгълна призма ABCA1B1C1 има дължина а. Да се намери разстоянието между основен ръб и кръстосан с него диагонал на призмата.
Решение: Ще намерим d (АС; ВС1). АС ВС1, търсим равнина
От АС A1C1 AC (A1BC1) и ВС1 (A1BC1) ρ = (A1BC1). За да намерим d (AC; ρ), от произволна точка от АС ще построим перпендикуляр към ρ. Нека т.Н и т.Н1 са среди на АС и А1С1. Ясно е, че (ВНН1) ρ. В (ВНН1) построяваме НР ВН1 (Р ВН1). Тъй като РН (А1ВС1) РН ВС1 и АС (ВНН1) АС РН
d (АС; ВС1) = РН. От правоъгълния Δ ВНН1: , НН1= а
Ще намерим РН като изразим SΔBHH1 по два начина и
ІІ подход: Избираме проекционна ρ – перпендикулярна на едната права ρ b (черт. 6). Намираме пробода на b и ρ: b ρ = т. О и ортогоналната проекция на другата права в ρ: орт. пр.ρ а = а`. Построяваме b.
ρ : OH a (H a`). d (a; b) = OH, защото b ρ, но ОН ρ b ОН и ОН а` (по построение) по ТТП OH a. Когато трябва да се построи оста О на а и b в равнината (а; а`) издигаме перпендикуляр НР към а` (Р а) (черт. 6). Ос о на кръстосаните прави а и b е РQ HO, където Q b, което следва от HOQP правоъгълник и на основание Необходимостта на ТТП.
Следващите задачи решаваме чрез описания ІІ подход:
Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 с основен ръб a и височина h. Да се намери най-късото разстояние между основния ръб АВ и диагонала А1С на призмата.
/ШУ „Епископ К. Преславски”, 2003/
Решение:
Правите АВ и А1С са кръстосани и . За да намерим d (АВ; А1С) е необходимо да изберем проекционна равнина ρ АВ. Ясно е, че това може да бъде (AD D1A1), тъй като и
АВ (AD D1A1) = т. А.
Орт. пр. (AD D1A1) А1С = A1D (от ABCDA1B1C1D1 – правилна призма).
В (AD D1A1) построяваме: АН A1D (Н A1D). Твърдим, че АН = d (АВ; А1С), защото АН (AD D1A1), АВ (AD D1A1)
АН АВ и
Орт. пр. (AD D1A1) А1С = A1D, но АН A1D
ТТП
АН А1С
За да изчислим АН разглеждаме (AD D1A1): като изразим SΔADA1, по два начина: и
Задача 5. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с дължина на ръба b. Да се намери ъгъла и разстоянието между кръстосаните прави АС и ВС1.
Решение:
тъй като А1С1 AC, a Δ A1BC1 е равностранен, кръстосаните прави АС ВС1.
d (АС; ВС1) ще намерим като проекционна равнина ρ АС
Орт. пр. (ВВ1DD1) BС1 = BO,
Разглеждаме проекционната равнина (ВВ1DD1): построяваме ОН ВО1 (Н ВО1). ОН е оста-отсечка на правите АС и ВС1 и d (АС; ВС1) = ОН. Преди изчисляване на разстоянието е необходимо да се докаже, че ОН АС (от ОН (BDD1B1) и АС (BDD1B1)) и ОН ВС1 (от ТТП), т.е. че ОН = d (АС; ВС1).
Δ BB1O1~ Δ OHB - І признак . Отчитайки, че ръбът на куба е с

големина b и и т.О и т.О са центрове на основите, достигаме до пропорцията: .
Задача 6. Основа на пирамидата SABC е равностранният триъгълник АВС, с дължина на страната .Околният ръб SC е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина 2. Намерете големината на ъгъла и разстоянието между кръстосаните прави, едната от които минава през точка S и средата на ръба ВС, а другата минава през точка С и средата на ръба АВ. /МГУ, Механико-математически факултет, 1977/
Решение: Нека т. D е среда на АВ, а т.Е е среда на ВС. В (АВС) построяваме права
От Δ FES: , където като средна отсечка в Δ DBC; от SC (АВС) SC ЕС от Δ EСS можем чрез Питагоровата теорема да намерим , тъй като е равнобедрен и АS = ВS = 6 , а от .
Замествайки получаваме:
т.е.
За да построим оста-отсечка на кръстосаните прави SЕ и CD да изчислим d (SЕ; CD) търсим проекционна равнина ρ CD. От това, че SC CD (по условие), ако в (АВС) построим права , то ρ (SC; m) и
ρ CD. Ясно е, че прободът на CD и ρ е точка С (CD ρ = т.С).
Орт. пр.ρ SC = SI, където l m = т. І .
В проекционната равнина ρ: построяваме СН SI (Н SI).
СН е оста-отсечка на SE и CD, защото СН СD (от СН ρ и CD ρ) и СН SI, ТТП
но SI = орт. пр. ρ SЕ СН SЕ СН = d (SЕ; CD).
СН може да се изчисли от правоъгълния триъгълник SCI чрез основната задача , където от
От DFIC – правоъгълник т.е.
Полезно е да се направи коментар относно други подходи за намиране на СН (чрез представяне на SΔCIS по два начина или чрез V SEIC – използвайки, че и ).

ІІІ подход: Разстоянието между кръстосаните прави представяме като (чрез) височина в многостен, на който знаем обема и лицето на стената, към която е прекарана височината. Този подход ни дава възможност да намерим дължината на ос-отсечката, но не и самата отсечка. Чрез него може да се реши задача7 от Работния лист.
Работен лист

Задача 1. Да се построи оста и да се намери разстоянието между кръстосани околен ръб и диагонал на основата на куб с дължина на ръба b.
отг.:
Задача 2. Дадена е триъгълна пирамида ABCD, на която основата АВС и околната стена ВСD са равностранни триъгълници със страна а. Равнините на стените АВС и ВСD са перпендикулярни. Да се намери оста на правите, определени от ръбовете АD и ВС, и разстоянието между тях.
отг.:
Задача 3. В четириъгълна пирамида ABCDМ с основа квадрата АВСD, околните стени ADМ и CDМ са перпендикулярни на равнината на основата, а всяка една от другите две околни стени образуват с равнината на основата ъгъл 60°. Радиусът на описаната окръжност около триъгълника CDМ е равен на R. Намерете разстоянието между правите МD и АВ и разстоянието между правите AD и МВ.
/УНСС – София, 1998/
отг.:
Задача 4. Даден е правоъгълен паралелепипед с измерения a, b и c. Да се намери разстоянието между ръб с дължина а и кръстосан с него диагонал на паралелепипеда.
отг.:
Задача 5. Основа на пирамида SABC е равнобедрен правоъгълен триъгълник АВС с дължина на хипотенузата АВ = .Околният ръб SC е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина 2. намерете големината на ъгъла и разстоянието между кръстосаните прави едната от които минава през точка S и средата на ръба АС, а другата минава през точка С и средата на ръба АВ.
/МГУ, Механико-математически факултет, 1977/
отг.:
Полезно е и да се разгледат задачи, в чието условие е дадено разстояние между две кръстосани прави.
Задача 6. Основата на пирамида АВСDQ е ромб АВСD с , а околният ръб DQ е перпендикулярен на равнината на основата. Разстоянието между правите ВС и АQ е равно на 1, а ъгълът между околните стени ВСQ и СDQ е равен на 45°. Да се намери обемът на пирамидата.
/СУ, юли 2006г./
отг.:
Задача 7. В правилна четириъгълна пирамида АВСDМ /с основа АВСD и връх М/ разстоянието между правите АD и ВМ е равно на , а ъгълът между правата АС и равнината ВСМ е равен на 30°. Да се намери обемът на пирамидата.
/СУ, май 2006г./
отг.:
Задача 8. В тетраедъра АВСD ръбовете АВ и СD имат дължина а, а останалите четири ръба имат дължина b. Намерете разстоянието между АВ и СD.
отг.:
Задача 9. Основният ръб на правилна триъгълна призма АВСА1В1С1има дължина 1, а околните й стени са квадрати. Точката О е център на стената АСС1А1. Да се намери разстоянието между правите ВО и СВ1.
/ПМГ – Ст. Загора/
отг.:

Задача 10. Основата на пирамида АВСDV е правоъгълник със страни и . Ортогоналната проекция на върха V върху основата на пирамидата е точка Q – среда на страната АD. Намерете разстоянието между АV и СD, ако обемът на пирамидата е .
отг.: