Предизвикани размисли
или по-точно: за ъглите,
трансверзалите, ос-отсечките
и разстоянията между
кръстосани прави
Румяна Ангелова, ПГИМ – Пазарджик
Едно от най-често разглежданите взаимни положения на геометрични обекти в пространството е това на кръстосаните прави. Въпросът е сложен, многоаспектен и изисква изясняване и овладяване на понятията: ъгъл между кръстосани прави, трасверзала, ос и ос-отсечка на кръстосани прави. Актуално звучи задачата за намиране на разстоянието /distance/ между кръстосаните прави a и b, d (a; b). Статията разглежда основни подходи за намиране на разстояния между кръстосани прави в зависимост от взаимното им положение, предлага решения на някои популярни и не чак толкова проблема, а също така и задачи за самостоятелна работа - Работен лист. Добре е да се вземат предвид следните факти:
Определение: Две прави в пространството, които не лежат в една равнина се наричат кръстосани.
Определение: Ъгъл между две кръстосани прави се нарича ъгълът между две пресекателни прави, съответно успоредни на двете кръстосани прави.
Определение: Трансверзала на две и повече дадени прави се нарича всяка права, която пресича тези прави:
Определение: Ос на две кръстосани прави се нарича права, която ги пресича и е перпендикулярна на всяка от тях.
Теорема: Две кръстосани прави имат точно една ос.
Определение: Отсечката с краища пресечените точки на две кръстосани прави с тяхната ос се нарича ос-отсечка на две прави.
Теорема: Оста-отсечка на две кръстосани прави е по-малка от всяка друга отсечка с краища върху двете прави.
Дължината на оста-отсечка на две кръстосани прави a и b е най-късото разстояние между тях, за краткост ще го записваме: d (a; b).
В зависимост от поставената задача, разстоянието може да се намери с или без построяване на оста-отсечка.
Разгледаните в статията подходи за намиране на разстоянията между две кръстосани прави се основават на избор на подходяща проекционна равнина.
Първи случай: Нека a и b са кръстосани прави и . Търсим равнина
След като я намерим, определяме пробода на b и ρ т.е. b ρ = т. О. В ρ построяваме: ОН а (Н а). Твърдим, че OH = d(a; b), защото: и а ОН (по построение). Ясно е, че правата е ос на кръстосаните прави a и b. (черт. 1).
Използвайки този алгоритъм и обосновка, лесно можем да решим следните задачи:
Задача 1. В права триъгълна призма ABCA1B1C1 дължините на основните ръбове са АВ = 13, ВС = 14 и СА = 15. Да се намери разстоянието между най-късия основен ръб и неговия кръстосан околен ръб.
Решение:
Ясно е, че трябва да се намери d (AB; CC1) (черт. 2).
Съгласно описания подход тъй като АВ СС1 търсим равнина ρ, която съдържа едната права и е перпендикулярна на другата. Това е равнината ρ = (АВС). CC1 ρ и CC1 ρ = т. С. В ρ построяваме СН АВ (Н АВ). Търсеното разстояние d (AB; CC1) = CH, защото СН АВ (по построение) и CC1 СН, защото CC1 ρ, СН ρ.
След построяването на оста-отсечка и определяне на d (AB; CC1) = CH не е трудно да се изчисли като се изрази SΔABC по два начина: и
Задача 2. Даден е прав паралелепипед ABCDA1B1C1D1, като АВ = а, AD = b, . Да се намери оста на правите, определени от DD1 и AC и разстоянието между тях.
Решение: Правите DD1 и AC са кръстосани и DD1 AC. За да построим оста на DD1 и AC, и да изчислим d (DD1; AC) търсим равнина . Тъй като ABCDA1B1C1D1 е прав паралелепипед, ясно е че това е (ABCD). Прободът на DD1 и избраната равнина е точка D т.е. DD1 (ABCD) = D. В ρ = (ABCD): построяваме DH AC (H AC) (черт.3).
Тогава оста на двете прави е права о DH и DH = d (DD1; AC), защото и о АС (по построение). Търсеното разстояние DH = d (DD1; AC), ще намерим като височина в Δ ACD, като изразим лицето му по два начина:
и , но
Втори случай: Нека a и b са кръстосани прави и a b. В зависимост от геометричната ситуация, за да намерим d (a; b) можем да използваме по някой от следните подходи:
І подход: Търсим равнина . Тогава разстоянието между двете прави е равно на разстоянието от коя да е точка от правата b до равнината ρ (черт. 4).
, защото и
За да получим оста о на кръстосаните прави a и b проектираме ортогонално правата b върху равнината ρ орт. пр.ρ b = b`. Намираме пресечената точка Q` на a и b`, a b` = Q`. В равнината (b, b`) издигаме перпендикуляр QQ` b` (Q b). Правата о = QQ` е ос на кръстосаните прави a и b, QQ` е ос-отсечка, защото от Q`HMQ – правоъгълник (черт. 5).
Задача 3. Всеки ръб на правилната триъгълна призма ABCA1B1C1 има дължина а. Да се намери разстоянието между основен ръб и кръстосан с него диагонал на призмата.
Решение: Ще намерим d (АС; ВС1). АС ВС1, търсим равнина
От АС A1C1 AC (A1BC1) и ВС1 (A1BC1) ρ = (A1BC1). За да намерим d (AC; ρ), от произволна точка от АС ще построим перпендикуляр към ρ. Нека т.Н и т.Н1 са среди на АС и А1С1. Ясно е, че (ВНН1) ρ. В (ВНН1) построяваме НР ВН1 (Р ВН1). Тъй като РН (А1ВС1) РН ВС1 и АС (ВНН1) АС РН
d (АС; ВС1) = РН. От правоъгълния Δ ВНН1: , НН1= а
Ще намерим РН като изразим SΔBHH1 по два начина и
ІІ подход: Избираме проекционна ρ – перпендикулярна на едната права ρ b (черт. 6). Намираме пробода на b и ρ: b ρ = т. О и ортогоналната проекция на другата права в ρ: орт. пр.ρ а = а`. Построяваме b.
ρ : OH a (H a`). d (a; b) = OH, защото b ρ, но ОН ρ b ОН и ОН а` (по построение) по ТТП OH a. Когато трябва да се построи оста О на а и b в равнината (а; а`) издигаме перпендикуляр НР към а` (Р а) (черт. 6). Ос о на кръстосаните прави а и b е РQ HO, където Q b, което следва от HOQP правоъгълник и на основание Необходимостта на ТТП.
Следващите задачи решаваме чрез описания ІІ подход:
Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 с основен ръб a и височина h. Да се намери най-късото разстояние между основния ръб АВ и диагонала А1С на призмата.
/ШУ „Епископ К. Преславски”, 2003/
Решение:
Правите АВ и А1С са кръстосани и . За да намерим d (АВ; А1С) е необходимо да изберем проекционна равнина ρ АВ. Ясно е, че това може да бъде (AD D1A1), тъй като и
АВ (AD D1A1) = т. А.
Орт. пр. (AD D1A1) А1С = A1D (от ABCDA1B1C1D1 – правилна призма).
В (AD D1A1) построяваме: АН A1D (Н A1D). Твърдим, че АН = d (АВ; А1С), защото АН (AD D1A1), АВ (AD D1A1)
АН АВ и
Орт. пр. (AD D1A1) А1С = A1D, но АН A1D
ТТП
АН А1С
За да изчислим АН разглеждаме (AD D1A1): като изразим SΔADA1, по два начина: и
Задача 5. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с дължина на ръба b. Да се намери ъгъла и разстоянието между кръстосаните прави АС и ВС1.
Решение:
тъй като А1С1 AC, a Δ A1BC1 е равностранен, кръстосаните прави АС ВС1.
d (АС; ВС1) ще намерим като проекционна равнина ρ АС
Орт. пр. (ВВ1DD1) BС1 = BO,
Разглеждаме проекционната равнина (ВВ1DD1): построяваме ОН ВО1 (Н ВО1). ОН е оста-отсечка на правите АС и ВС1 и d (АС; ВС1) = ОН. Преди изчисляване на разстоянието е необходимо да се докаже, че ОН АС (от ОН (BDD1B1) и АС (BDD1B1)) и ОН ВС1 (от ТТП), т.е. че ОН = d (АС; ВС1).
Δ BB1O1~ Δ OHB - І признак . Отчитайки, че ръбът на куба е с
големина b и и т.О и т.О са центрове на основите, достигаме до пропорцията: .
Задача 6. Основа на пирамидата SABC е равностранният триъгълник АВС, с дължина на страната .Околният ръб SC е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина 2. Намерете големината на ъгъла и разстоянието между кръстосаните прави, едната от които минава през точка S и средата на ръба ВС, а другата минава през точка С и средата на ръба АВ. /МГУ, Механико-математически факултет, 1977/
Решение: Нека т. D е среда на АВ, а т.Е е среда на ВС. В (АВС) построяваме права
От Δ FES: , където като средна отсечка в Δ DBC; от SC (АВС) SC ЕС от Δ EСS можем чрез Питагоровата теорема да намерим , тъй като е равнобедрен и АS = ВS = 6 , а от .
Замествайки получаваме:
т.е.
За да построим оста-отсечка на кръстосаните прави SЕ и CD да изчислим d (SЕ; CD) търсим проекционна равнина ρ CD. От това, че SC CD (по условие), ако в (АВС) построим права , то ρ (SC; m) и
ρ CD. Ясно е, че прободът на CD и ρ е точка С (CD ρ = т.С).
Орт. пр.ρ SC = SI, където l m = т. І .
В проекционната равнина ρ: построяваме СН SI (Н SI).
СН е оста-отсечка на SE и CD, защото СН СD (от СН ρ и CD ρ) и СН SI, ТТП
но SI = орт. пр. ρ SЕ СН SЕ СН = d (SЕ; CD).
СН може да се изчисли от правоъгълния триъгълник SCI чрез основната задача , където от
От DFIC – правоъгълник т.е.
Полезно е да се направи коментар относно други подходи за намиране на СН (чрез представяне на SΔCIS по два начина или чрез V SEIC – използвайки, че и ).
ІІІ подход: Разстоянието между кръстосаните прави представяме като (чрез) височина в многостен, на който знаем обема и лицето на стената, към която е прекарана височината. Този подход ни дава възможност да намерим дължината на ос-отсечката, но не и самата отсечка. Чрез него може да се реши задача7 от Работния лист.
Работен лист
Задача 1. Да се построи оста и да се намери разстоянието между кръстосани околен ръб и диагонал на основата на куб с дължина на ръба b.
отг.:
Задача 2. Дадена е триъгълна пирамида ABCD, на която основата АВС и околната стена ВСD са равностранни триъгълници със страна а. Равнините на стените АВС и ВСD са перпендикулярни. Да се намери оста на правите, определени от ръбовете АD и ВС, и разстоянието между тях.
отг.:
Задача 3. В четириъгълна пирамида ABCDМ с основа квадрата АВСD, околните стени ADМ и CDМ са перпендикулярни на равнината на основата, а всяка една от другите две околни стени образуват с равнината на основата ъгъл 60°. Радиусът на описаната окръжност около триъгълника CDМ е равен на R. Намерете разстоянието между правите МD и АВ и разстоянието между правите AD и МВ.
/УНСС – София, 1998/
отг.:
Задача 4. Даден е правоъгълен паралелепипед с измерения a, b и c. Да се намери разстоянието между ръб с дължина а и кръстосан с него диагонал на паралелепипеда.
отг.:
Задача 5. Основа на пирамида SABC е равнобедрен правоъгълен триъгълник АВС с дължина на хипотенузата АВ = .Околният ръб SC е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина 2. намерете големината на ъгъла и разстоянието между кръстосаните прави едната от които минава през точка S и средата на ръба АС, а другата минава през точка С и средата на ръба АВ.
/МГУ, Механико-математически факултет, 1977/
отг.:
Полезно е и да се разгледат задачи, в чието условие е дадено разстояние между две кръстосани прави.
Задача 6. Основата на пирамида АВСDQ е ромб АВСD с , а околният ръб DQ е перпендикулярен на равнината на основата. Разстоянието между правите ВС и АQ е равно на 1, а ъгълът между околните стени ВСQ и СDQ е равен на 45°. Да се намери обемът на пирамидата.
/СУ, юли 2006г./
отг.:
Задача 7. В правилна четириъгълна пирамида АВСDМ /с основа АВСD и връх М/ разстоянието между правите АD и ВМ е равно на , а ъгълът между правата АС и равнината ВСМ е равен на 30°. Да се намери обемът на пирамидата.
/СУ, май 2006г./
отг.:
Задача 8. В тетраедъра АВСD ръбовете АВ и СD имат дължина а, а останалите четири ръба имат дължина b. Намерете разстоянието между АВ и СD.
отг.:
Задача 9. Основният ръб на правилна триъгълна призма АВСА1В1С1има дължина 1, а околните й стени са квадрати. Точката О е център на стената АСС1А1. Да се намери разстоянието между правите ВО и СВ1.
/ПМГ – Ст. Загора/
отг.:
Задача 10. Основата на пирамида АВСDV е правоъгълник със страни и . Ортогоналната проекция на върха V върху основата на пирамидата е точка Q – среда на страната АD. Намерете разстоянието между АV и СD, ако обемът на пирамидата е .
отг.:
петък, 26 декември 2008 г.
ПРАКТИЧЕСКИ АСПЕКТИ ЗА ФОРМИРАНЕ НА УМЕНИЯ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ОТ КОМБИНАЦИИ НА РОТАЦИОННИ ТЕЛА
Румяна Ангелова, Професионална гимназия по икономика и мениджмънт, гр. Пазарджик
PRACTICAL ASPECTS FOR THE FORMATION OF SKILLS ABOUT SOLVING OF ROTATORY PROBLEMS
Rumjana Angelova, School of Economics and Management, Pazardzhik town
Abstract: The article considers a pedagogical strategy that is connected to the formation of skills in solving mathematical problems for combinations of rotating figures. The basic structural components are presented in this lesson. A model / cycle/ of a formation of skills has been offered and the feedback has been considered as a cycle in the cycle, and this gives the possibilities for increasing the developing character of the education. A structure of skills in solving mathematical problems for combinations of rotating figures has been developed, the plane configurations of the basic combinations have been considered.
Споделянето на педагогически опит, стратегии, модели, професионална интуиция, разработката на иновации, наблюдението и анализа на различни образователни методи и педагогически решения уплътняват образователното пространство, фокусират вниманието върху важни въпроси и водят до повишаване качеството и привлекателността на образованието. Това е непрекъснат процес на търсене и откриване на възможности за постигане на единство и хармонизация в обучението и образованието.
Статията разглежда педагогическа стратегия, свързана с формирането на умения за решаване на задачи от комбинации на ротационни тела.
В ядрото „ Фигури и тела” на ДОИ за УС по математика са посочени фигурите и телата, които се изучават , а също така и уменията, които трябва да се формират. Главната особеност на стереометрията , отделяща я от другите математически дисциплини се състои в това, че в нея са свързани знанията, логиката, пространственото и нагледно въображение. За успешното и привлекателно организиране на обучението по стереометрия е необходимо да се откроят акцентите , преподавателят внимателно да планира и подготвя всеки урок за целенасочено формиране на умения за създаване на пространствени образи и прехода към равнинни конфигурации.
След формиране на знанията за ротационните тела, техните елементи и свойства се поставя въпроса за приложението на тези знания в познати и нови ситуации, за решаване на задачи, свързани с анализиране на конфигурации от тела и осъзнаване на принципите на организация на цялото, или със създаване на конфигурации от няколко ротационни тела. Това изисква формиране на умения да се разложи цялото на елементи, за да се види структурата, да се отделят части от цялото; умения да се комбинират елементи, за да се получи ново цяло, да се извършват логически и структурни разсъждения на базата на ясни критерии.
Планирането и подготовката на урок за формиране на умения и навици включва: запознаване с учебната програма, с новостите в педагогиката, психологията и методиката; справка с годишното разпределение; формулиране на темата, целта и задачите; разработване структурата на урока,принципи, методи и стратегии; разпределение на урочното време по части и оформяне на план- конспект.
Основните структурни компоненти на този урок са:
- актуализиране на опорните знания;
- мотивиране на учениците за учебна дейност;
- съобщаване на темата на урока и задаване на задачите;
- организиране на дейности за решаване на задачите;
- организиране на обратна връзка, контрол и оценяване;
- организиране на дейности за обобщаване и систематизиране на опита;
- задаване на задачи за домашна работа.
Опорните знания включват както знанията за ротационните тела, така и знания за вписване и описване на окръжност в и около триъгълник и четириъгълник. Необходимо е да се „ отработят” както условията за вписване и описване, така и построяване на центъра на окръжността и точките на допиране.
Мотивирането съдържа аргументи за възможностите, които предоставя стереометрията за формиране на пространствено мислене и въображение, за пространствена интелигентност; за това, че при задачите от комбинации на ротационни тела се търсят творчески и нестандартни решения на ситуации, свързани с човешката дейност.
Полезно е темата на урока да се формулира чрез учебната дейност на ученика. Например: „ Решаване на задачи за вписване на ротационни тела в сфера”, „ Изследване на възможности за описване на ротационни тела около сфера”. Подбраните и подходящо подредени задачи могат да бъдат зададени като „ математически маршрут”, който трябва да бъде „извървян” за определено време. Възможностите за задаване на задачите са големи: от учебника, от Работния лист / предварително подготвен от учителя и предоставен на всеки ученик/, чрез мултимедиен проектор. Планират се и се поставят проблемни задачи и ситуации.
От особена важност е процеса на планиране и организиране на дейностите за решаване на самите задачи. Според етапа на формиране на уменията, задавайки самостоятелна работа или работа в малки групи , учителят сам избира „ ролята си”: осъществява взаимодействие с ученика или групата, или организира обратна връзка, контрол, и помага при изводите и обобщенията като осигурява съблюдаване на свободна и равноправна изява. Поощрява се досещането, нестандартното, алтернативното мислене. Коментира се всеки етап от решението.
На самото организиране на обратната връзка може да се гледа като на един цикъл [6]:
В началото може да се поиска от ученика да оцени своето представяне в конкретната учебна дейност- при решаване на поставената задача: „Как преценяваш твоето решение на задачата? Какви проблеми срещна? Какво те затрудни?
При организиране на дискусията като следващ етап учителят може да надгражда над положителните аспекти на самооценката на ученика, като постепенно се премине към дейностите където са допуснати неточности или слабости.
Поглед напред:За съвместното решаване на проблема, свързан с преодоляване на грешките се обсъждат и набелязват дейности и начини за решаване. „ По какъв друг начин можеш да направиш това?”
Затварящият елемент на цикъла: Обобщение на дейността и финализирането й с позитивен коментар. Следва планирнето на дейностите по осъществяване на обратна връзка във връзка с изпълнението на следващата задача.
Обратната връзка дава възможност на учениците да идентифицират силните и слабите страни на своето учене, което ги улеснява в усилията им да го променят, адаптират и подобрят. Те трябва да са наясно дали и до каква степен са постигнали критериите за оценяване. Това налага необходимостта от диагностика и изработване на критерии и показатели за оценка на уменията.
Ø Можем да обобщим, че добрата обратна връзка трябва да бъде:
информативна- ясно да идентифицира силните и слабите
моменти при решаване на задзчата;
Ø да се основава на ясни критерии- да съдържа информация за постиженията на учениците по отношение на целите;
Ø конструктивна- да съдържа конкретни пътища за подобряване на постиженията;
Ø мотивираща -да се окуражават учениците и да се посочва напредъка при формиране на уменията за решаване на задачи;
Ø позитивна- да се обясни ясно защо това, което прави обекта на оценяване заслужава положителна оценка
Ø навременна- интервалът между дейността и даването на обратна връзка за нея да не е много голям, за да могат учениците да извлекат полза от нея.
От изключително значение за развитие на учениковата личност са процесите обобщаване и систематизиране на натрупания опит. Тук се включват уменията за логическо осмисляне на учебното съдържание.
При подготовката и провеждането на уроците за формиране на умения за решаване на задачи от комбинации на ротационни тела трябва да се използва принципа нагледност/полисензорност/. Това предполага най- рационален подбор на средства за онагледяване и изисква от учителя добро познаване на технологията на изработване на стереометрични чертежи и равнинни конфигурации, и умения за работа в мултимедийна среда. Спазването на принципа за нагледност подпомага разбирането на връзката между теория и практика, подобрява мотивацията на ученето, разкрива многообразието на явленията и спомага за изграждането у учениците на цялостни представи за тях[4, стр. 231].
При обобщаване на уменията за работа с комбинации от ротационни тела е добре да се разгледат и да се направи сравнителен анализ на цилиндър, конус и пресечен конус- вписани в сфера.
Като следващ етап е полезно да се разгледат комбинации на същите тела със сфера, но вече описани около нея.
Обосновава се, че съществуващите комбинации, изобразени на черт. 5 следват от възможността да се впише окръжност в триъгълник. Комбинацията, изобразена на черт. 4 е възможна само при условие – осевото сечение на цилиндъра да е квадрат, а комбинацията на черт. 6 е допустима при условие, че осевото сечение на пресечения конус е трапец, чиито сбор на основите е равен на сбора от бедрата. Уменията, които трябва да се формират имат следната структура:
-обосновка, че в тялото/около тялото/ може или не може да се впише или опише сфера;
-построяване равнинна конфигурация/ осево сечение/
-получаване на центъра и точките на допиране;
-решаване на задачата.
Практически невъзможно е да се обхванат всички възможни конфигурации от ротационни тела. Но това не е и необходимо. Важно е процесът на формиране на умения да дава възможност за овладяване на обобщени начини на действие с изграждане на научно- теоретично отношение към действителността и похвати за ориентация в нея.. В състава им са включени умения за рефлексивна дейност, умения за анализ, управление и корекция предимно на обобщени форми на собствената познавателна дейност [1,стр.15]. Предложеният по- долу модел/ цикъл/ съдържа елемента обратна връзка който може да се разглежда като „цикъл в цикъла” и дава възможност за засилване развиващия характер на обучението чрез формиране на интелектуалните умения,а именно- свързаните
с усвояване на обобщени начини на действие.
Въпросът за формирането на умения за решаване на задачи от комбинации на ротационни тела, структурата на тези умения и някои практически виждания се поставя за да се фокусира вниманието върху развитие на мисленето и пространствената интелигентност на учениците.
Литература:
1. Петров, П. Формиране на умения за решаване на задачи от училищния курс по математика. Изд. „ Кота” , Стара Загора, 2003
2. Петров, П. Формиране на умения за решаване на математически задачи. ИПКУ, Стара Загора, 2001
3. Стефанова, М. Педагогическата иновация. Изд. „Петекстон”, София, 2005
4. Радев, Пл. Педагогика. Изд. Къща „Хермес”, Пловдив,2001, 2003
5. Френкев, Д., В. Милушев. Анализ на дейностите моделиране и конкретизиране на модел. Научни трудове на ПУ” Паисий Хилендарски”- Методика на обучение, т. 39, кн. 2, 2002
6. Пейчева, Р. Формиращото оценяване, МОН, Сборник за обучение на Регионалните инспекторати
PRACTICAL ASPECTS FOR THE FORMATION OF SKILLS ABOUT SOLVING OF ROTATORY PROBLEMS
Rumjana Angelova, School of Economics and Management, Pazardzhik town
Abstract: The article considers a pedagogical strategy that is connected to the formation of skills in solving mathematical problems for combinations of rotating figures. The basic structural components are presented in this lesson. A model / cycle/ of a formation of skills has been offered and the feedback has been considered as a cycle in the cycle, and this gives the possibilities for increasing the developing character of the education. A structure of skills in solving mathematical problems for combinations of rotating figures has been developed, the plane configurations of the basic combinations have been considered.
Споделянето на педагогически опит, стратегии, модели, професионална интуиция, разработката на иновации, наблюдението и анализа на различни образователни методи и педагогически решения уплътняват образователното пространство, фокусират вниманието върху важни въпроси и водят до повишаване качеството и привлекателността на образованието. Това е непрекъснат процес на търсене и откриване на възможности за постигане на единство и хармонизация в обучението и образованието.
Статията разглежда педагогическа стратегия, свързана с формирането на умения за решаване на задачи от комбинации на ротационни тела.
В ядрото „ Фигури и тела” на ДОИ за УС по математика са посочени фигурите и телата, които се изучават , а също така и уменията, които трябва да се формират. Главната особеност на стереометрията , отделяща я от другите математически дисциплини се състои в това, че в нея са свързани знанията, логиката, пространственото и нагледно въображение. За успешното и привлекателно организиране на обучението по стереометрия е необходимо да се откроят акцентите , преподавателят внимателно да планира и подготвя всеки урок за целенасочено формиране на умения за създаване на пространствени образи и прехода към равнинни конфигурации.
След формиране на знанията за ротационните тела, техните елементи и свойства се поставя въпроса за приложението на тези знания в познати и нови ситуации, за решаване на задачи, свързани с анализиране на конфигурации от тела и осъзнаване на принципите на организация на цялото, или със създаване на конфигурации от няколко ротационни тела. Това изисква формиране на умения да се разложи цялото на елементи, за да се види структурата, да се отделят части от цялото; умения да се комбинират елементи, за да се получи ново цяло, да се извършват логически и структурни разсъждения на базата на ясни критерии.
Планирането и подготовката на урок за формиране на умения и навици включва: запознаване с учебната програма, с новостите в педагогиката, психологията и методиката; справка с годишното разпределение; формулиране на темата, целта и задачите; разработване структурата на урока,принципи, методи и стратегии; разпределение на урочното време по части и оформяне на план- конспект.
Основните структурни компоненти на този урок са:
- актуализиране на опорните знания;
- мотивиране на учениците за учебна дейност;
- съобщаване на темата на урока и задаване на задачите;
- организиране на дейности за решаване на задачите;
- организиране на обратна връзка, контрол и оценяване;
- организиране на дейности за обобщаване и систематизиране на опита;
- задаване на задачи за домашна работа.
Опорните знания включват както знанията за ротационните тела, така и знания за вписване и описване на окръжност в и около триъгълник и четириъгълник. Необходимо е да се „ отработят” както условията за вписване и описване, така и построяване на центъра на окръжността и точките на допиране.
Мотивирането съдържа аргументи за възможностите, които предоставя стереометрията за формиране на пространствено мислене и въображение, за пространствена интелигентност; за това, че при задачите от комбинации на ротационни тела се търсят творчески и нестандартни решения на ситуации, свързани с човешката дейност.
Полезно е темата на урока да се формулира чрез учебната дейност на ученика. Например: „ Решаване на задачи за вписване на ротационни тела в сфера”, „ Изследване на възможности за описване на ротационни тела около сфера”. Подбраните и подходящо подредени задачи могат да бъдат зададени като „ математически маршрут”, който трябва да бъде „извървян” за определено време. Възможностите за задаване на задачите са големи: от учебника, от Работния лист / предварително подготвен от учителя и предоставен на всеки ученик/, чрез мултимедиен проектор. Планират се и се поставят проблемни задачи и ситуации.
От особена важност е процеса на планиране и организиране на дейностите за решаване на самите задачи. Според етапа на формиране на уменията, задавайки самостоятелна работа или работа в малки групи , учителят сам избира „ ролята си”: осъществява взаимодействие с ученика или групата, или организира обратна връзка, контрол, и помага при изводите и обобщенията като осигурява съблюдаване на свободна и равноправна изява. Поощрява се досещането, нестандартното, алтернативното мислене. Коментира се всеки етап от решението.
На самото организиране на обратната връзка може да се гледа като на един цикъл [6]:
В началото може да се поиска от ученика да оцени своето представяне в конкретната учебна дейност- при решаване на поставената задача: „Как преценяваш твоето решение на задачата? Какви проблеми срещна? Какво те затрудни?
При организиране на дискусията като следващ етап учителят може да надгражда над положителните аспекти на самооценката на ученика, като постепенно се премине към дейностите където са допуснати неточности или слабости.
Поглед напред:За съвместното решаване на проблема, свързан с преодоляване на грешките се обсъждат и набелязват дейности и начини за решаване. „ По какъв друг начин можеш да направиш това?”
Затварящият елемент на цикъла: Обобщение на дейността и финализирането й с позитивен коментар. Следва планирнето на дейностите по осъществяване на обратна връзка във връзка с изпълнението на следващата задача.
Обратната връзка дава възможност на учениците да идентифицират силните и слабите страни на своето учене, което ги улеснява в усилията им да го променят, адаптират и подобрят. Те трябва да са наясно дали и до каква степен са постигнали критериите за оценяване. Това налага необходимостта от диагностика и изработване на критерии и показатели за оценка на уменията.
Ø Можем да обобщим, че добрата обратна връзка трябва да бъде:
информативна- ясно да идентифицира силните и слабите
моменти при решаване на задзчата;
Ø да се основава на ясни критерии- да съдържа информация за постиженията на учениците по отношение на целите;
Ø конструктивна- да съдържа конкретни пътища за подобряване на постиженията;
Ø мотивираща -да се окуражават учениците и да се посочва напредъка при формиране на уменията за решаване на задачи;
Ø позитивна- да се обясни ясно защо това, което прави обекта на оценяване заслужава положителна оценка
Ø навременна- интервалът между дейността и даването на обратна връзка за нея да не е много голям, за да могат учениците да извлекат полза от нея.
От изключително значение за развитие на учениковата личност са процесите обобщаване и систематизиране на натрупания опит. Тук се включват уменията за логическо осмисляне на учебното съдържание.
При подготовката и провеждането на уроците за формиране на умения за решаване на задачи от комбинации на ротационни тела трябва да се използва принципа нагледност/полисензорност/. Това предполага най- рационален подбор на средства за онагледяване и изисква от учителя добро познаване на технологията на изработване на стереометрични чертежи и равнинни конфигурации, и умения за работа в мултимедийна среда. Спазването на принципа за нагледност подпомага разбирането на връзката между теория и практика, подобрява мотивацията на ученето, разкрива многообразието на явленията и спомага за изграждането у учениците на цялостни представи за тях[4, стр. 231].
При обобщаване на уменията за работа с комбинации от ротационни тела е добре да се разгледат и да се направи сравнителен анализ на цилиндър, конус и пресечен конус- вписани в сфера.
Като следващ етап е полезно да се разгледат комбинации на същите тела със сфера, но вече описани около нея.
Обосновава се, че съществуващите комбинации, изобразени на черт. 5 следват от възможността да се впише окръжност в триъгълник. Комбинацията, изобразена на черт. 4 е възможна само при условие – осевото сечение на цилиндъра да е квадрат, а комбинацията на черт. 6 е допустима при условие, че осевото сечение на пресечения конус е трапец, чиито сбор на основите е равен на сбора от бедрата. Уменията, които трябва да се формират имат следната структура:
-обосновка, че в тялото/около тялото/ може или не може да се впише или опише сфера;
-построяване равнинна конфигурация/ осево сечение/
-получаване на центъра и точките на допиране;
-решаване на задачата.
Практически невъзможно е да се обхванат всички възможни конфигурации от ротационни тела. Но това не е и необходимо. Важно е процесът на формиране на умения да дава възможност за овладяване на обобщени начини на действие с изграждане на научно- теоретично отношение към действителността и похвати за ориентация в нея.. В състава им са включени умения за рефлексивна дейност, умения за анализ, управление и корекция предимно на обобщени форми на собствената познавателна дейност [1,стр.15]. Предложеният по- долу модел/ цикъл/ съдържа елемента обратна връзка който може да се разглежда като „цикъл в цикъла” и дава възможност за засилване развиващия характер на обучението чрез формиране на интелектуалните умения,а именно- свързаните
с усвояване на обобщени начини на действие.
Въпросът за формирането на умения за решаване на задачи от комбинации на ротационни тела, структурата на тези умения и някои практически виждания се поставя за да се фокусира вниманието върху развитие на мисленето и пространствената интелигентност на учениците.
Литература:
1. Петров, П. Формиране на умения за решаване на задачи от училищния курс по математика. Изд. „ Кота” , Стара Загора, 2003
2. Петров, П. Формиране на умения за решаване на математически задачи. ИПКУ, Стара Загора, 2001
3. Стефанова, М. Педагогическата иновация. Изд. „Петекстон”, София, 2005
4. Радев, Пл. Педагогика. Изд. Къща „Хермес”, Пловдив,2001, 2003
5. Френкев, Д., В. Милушев. Анализ на дейностите моделиране и конкретизиране на модел. Научни трудове на ПУ” Паисий Хилендарски”- Методика на обучение, т. 39, кн. 2, 2002
6. Пейчева, Р. Формиращото оценяване, МОН, Сборник за обучение на Регионалните инспекторати
Формиране на общоучебни умения – приоритет в извънкласната работа по математика
Румяна Георгиева Ангелова , Професионална гимназия по икономика и мениджмънт гр. Пазарджик ,тел. 0897806042, antika_rumi@abv.bg
Нараства значението на обмена на добри практики и идеи в областта на обучението и образованието. Описването и споделянето на педагогически опит, анализирането на педагогически иновации уплътняват образователното пространство, фокусират вниманието върху важни въпроси и водят до повишаване качеството и привлекателността, до откриване на възможности за постигане на единство и хармонизация в обучението и образованието.
Статията разглежда модел на извънкласна и извънурочна работа по математика, анализира структурата, направленията на дейност и възможностите за формиране и развитие на общоучебни умения и умения за решаване на задачи и развитие на интелекта.
Проблемът за уменията придобива голяма теоретична и практическа значимост, свързана с новата стратегическа цел на ЕС, заложена в Лисабонската стратегия: „ за да подобри качеството на живота на своите граждани и околната среда до 2010г. , Европейският съюз трябва да се превърне в най- конкурентноспособната и динамична икономика на знанието в света, способна на устойчив икономически растеж, с повече и по- добри работни места и по- добра социална интеграция”. В тази връзка мисията на училището трябва да се разглежда като осъвременяване на образователния процес чрез интегриране и обмяна на положителни практики с партньори от страната и чужбина, като хуманизиране на отношенията учител- ученик и предоставяне на възможности за пълноценно развитие на учениците, за привлекателно, интригуващо и стимулиращо образование. Обучението по математика, формирането и развиването на общоучебни умения и навици трябва да се разглежда не само като провеждане на уроци, а по- широко , включвайки серия от извънкласни и извънурочни мероприятия.
Ю. К. Бабански отдава изключително значение на общоучебните умения. Под общоучебни умения той разбира такива умения и навици, които имат широка сфера на приложение Те се формират чрез системна работа по няколко дисциплини, интегрират у себе си всичко ценно и общовалидно от тези дисциплини и играят роля на универсални метаспособи с големи възможности за пренос. Той предлага следната класификация на общоучебните умения и навици: .[ 2, стр. 14]
Учебно- организационни. Към тях се отнасят уменията да се планират действията, да се набелязват задачите на дейността , да се създават благоприятни условия за тяхното изпълнение и др.
Учебно- информационни. Към тях спадат уменията за работа с книги, справочници, речници, уменията да се правят наблюдения, библиографски справки и др.
Учебно- интелектуални. Тук се включват уменията за възприемане на информация, за логическо осмисляне на учебното съдържание и определяне в него на главното и др. [ 1, стр.7-8]
Извънкласната и извънурочната работа по математика може да бъде мощно средство за преодоляване на някои слаби страни, свързани с формирането и развитието на общоучебни умения.
Модел на интерактивен метод е Клуб за извънкласна и извънурочна работа по математика „ Процент и половина”.
Цел на клуба е да позволи на младите хора да придобият знания и умения чрез собствената си дейност да участват информирано и отговорно в общоучилищния и обществения живот.
Основните задачи са:
1. Да се организират интересни и атрактивни извънкласни и извънучилищни дейности за ангажираност на свободното време на учениците, за свързване на обучението с живота.
2. Да се създадат възможности за развитие на учениковата личност, провокиране и отприщване на творческия и потенциал.
3. Да се установи партньорство с други училища, с клубове по интереси, с университети, с предприятия, с родители.
Членството в клуба е свободно, всеки от участниците го приема като „ Добавена стойност”. Клубът има изградена формална структура, избира свое ръководство за една календарна година, дейността му е перманентна.
Видове дейности:
Дейности по направление „ Математически маршрути”:
Тези дейности са свързани с подготовката и провеждането на състезанието „ Математически маршрути”. Включват подготовка на банка задачи, конструиране на „ маршрути”, изработване на сценарий за празника- състезание, презентации, сформиране и подготовка на отбори, театрални етюди, свързани с историята на математиката, организиране на домакинство за състезанието. Чрез участие в тези дейности у учениците се формират и развиват учебно- организационни умения и навици, умения да планират дейността си, да изпълняват възложените задачи и дейности. Така наречените „ вертикални игри” изискват „ изминаването„на маршрут от всеки отбор, като целта е всеки да достигне до „ върха”. Маршрутът обаче изисква последователност на действията, не позволява прескачане на етапи: верният отговор на всяка задача се съдържа в условието на следващата, а също така и умения за работа в екип . Един примерен маршрут за отбор от десети клас може да бъде :
Дейностите по направление „ Лично творчество” отприщват творческия потенциал, насърчават възможностите и инициативата на младите хора, като им осигуряват подкрепа за осъществяването на творчески и новаторски проекти, които се разработват и изпълняват от самите тях. Стихотворения , есета, театрални етюди, авторски логически задачи се представят на празника- състезание „ Математически маршрути” и в сайта на клуба. Чрез тези дейности се формират учебно- интелектуални и учебно- информационни умения.
Дейностите по направление „ Web Пространство” са свързани с изработване и постоянно обновяване на сайта на клуба и водят до формирането на предметни( специални) умения. В основата на общоучебните умения стоят както предметни, така и междупредметни знания. Често дадено умение се формира като специално, а след това преминава в групата на общоучебните умения.
Дейностите „ Активности Up” включват извънкласна работа за насочване и подговка за участие в олимпиади и състезания. Работи се върху развитие на:
- умения за извършване на различни операции с числа и изрази;
- умения за решаване на уравнения, неравенства, системи от уравнения и неравенства;
- умения за съставяне на математически модели;
- умения за логическа организация на математически материал;
- умения за планиране и организиране на собствената дейност;
- умения да взема решения самостоятелно и да решава успешно проблеми;
- умения личността да бъде гъвкава, мобилна в една променяща се среда;
Формират се умения и способности у учениците за предвиждане поведението на обектите и системите, за предвиждане развитието на начините и процесите за преобразуване на действителността така, че да бъдат получени предварително заплануваните резултати. Това е важна предпоставка за изграждане на информационно- съдържателната страна на интелекта.
Направлението „ Международна дейност” включва участието на клуба в национални и международни проекти, установяването на партньорство и сътрудничество с клубове с подобен род дейност. През изминалия период се установиха такива с Академия по математика град Мадрид. Развиват се такава група умения и навици, които имат широка сфера на приложение, умения личността да бъде социално отговорна, да избира, да прилага конструктивни лични стратегии, умения да комуникира и да работи ефективно в екип.Всичко това води до развитие на интелекта на ученика по посока на нестандартното, алтернативно и творческо мислене и поведение.
Направлението „ Популяризиране на дейността” включва отразяване на дейността на клуба чрез изработване на презентации, чрез публикуване на статии . Тези дейности са от изключително значение за формиране на компонентите на общоучебните умения, а също така и за развитието на интелекта.
Участието в различните направления на дейност на клуба дава възможност на учениците за широка променливост в изпълнението на дадено умение, за вътрешни преобразувания и по този начин до подобряването му. Ефективността на формираното умение е правопропорционално на гъвкавостта на приложение и на комбинирането на дейностите по различни и понякога непредвидими начини. Развитото умение се проявява в богато на импровизации извършване на съставни действия. Разнообразието поддържа интереса към самия процес на осъществяване на умението. Да се импровизира в упражняванетона дадено умение значи да се обогати с игрово съдържание, което увеличава неговата привлекателност [2; стр. 57]. Важно условие за оптималността на тази извънкласна работа е рационалното разпределение на функциите и различните задачи между всички ученици, осигуряването на единство, еднопосочност и плътност на техните действия.
Организацията на „вертикалните игри” „Математически маршрути” съдържателно- целевата, но и организационно- управленската страна се намират в органично единство,непрекъснато се развиват, променят и еволюират.
Дейността на Клуб „ Процент и половина” мотивира учениците за постигане на по- високи резултати по математика. С нетърпение поставят въпроса за организиране на поредното издание на празника; отговорно подхождат към формиране на отборите, подготовката на презентациите и тренинга на отбора; проявяват креативност и оригиналност към цялостното представяне на отбора и на целия клас.
Налагат се следните изводи:
- Извънкласната и извънурочна работа по математика е мощно средство за преодоляване на някои слаби страни в обучението, гарантиращо формиране и развитие на общоучебните умения и навици;
- Основният индикатор за успеха на разработения модел за извънкласна и извънурочна работа е броят на участниците, интересът към различните направления на дейност и организираните мероприятия, и порастналите постижения по математика на участниците в клуба.
Цялостната четиригодишна дейност на Клуб „ Процент и половина”, ежегодните издания на „ Математически маршрути”, успешните участия на учениците в състезания и олимпиади доказват, че извънкласната и извънучилищна работа по математика е важно условие за развитие на интелектуалната воля и емоционалния компонент от структурата на личността, за формиране и развитие на умения и навици.
Литература
1. Бабанский, Ю. К. Рациональная организация учебной деятельности. – сп. Педагогика и психология, 1981
2. Петров, П. Формиране на умения за решаване на задачи от училищния курс по математика. Изд. „ Кота” , Стара Загора, 2003
3. Петров, П. Формиране на умения за решаване на математически задачи. ИПКУ, Стара Загора, 2001
4. Радев, Пл. Педагогика. Изд. Къща „ Хермес” , Пловдив, 20035. Стефанова, М. Педагогическата инова
Нараства значението на обмена на добри практики и идеи в областта на обучението и образованието. Описването и споделянето на педагогически опит, анализирането на педагогически иновации уплътняват образователното пространство, фокусират вниманието върху важни въпроси и водят до повишаване качеството и привлекателността, до откриване на възможности за постигане на единство и хармонизация в обучението и образованието.
Статията разглежда модел на извънкласна и извънурочна работа по математика, анализира структурата, направленията на дейност и възможностите за формиране и развитие на общоучебни умения и умения за решаване на задачи и развитие на интелекта.
Проблемът за уменията придобива голяма теоретична и практическа значимост, свързана с новата стратегическа цел на ЕС, заложена в Лисабонската стратегия: „ за да подобри качеството на живота на своите граждани и околната среда до 2010г. , Европейският съюз трябва да се превърне в най- конкурентноспособната и динамична икономика на знанието в света, способна на устойчив икономически растеж, с повече и по- добри работни места и по- добра социална интеграция”. В тази връзка мисията на училището трябва да се разглежда като осъвременяване на образователния процес чрез интегриране и обмяна на положителни практики с партньори от страната и чужбина, като хуманизиране на отношенията учител- ученик и предоставяне на възможности за пълноценно развитие на учениците, за привлекателно, интригуващо и стимулиращо образование. Обучението по математика, формирането и развиването на общоучебни умения и навици трябва да се разглежда не само като провеждане на уроци, а по- широко , включвайки серия от извънкласни и извънурочни мероприятия.
Ю. К. Бабански отдава изключително значение на общоучебните умения. Под общоучебни умения той разбира такива умения и навици, които имат широка сфера на приложение Те се формират чрез системна работа по няколко дисциплини, интегрират у себе си всичко ценно и общовалидно от тези дисциплини и играят роля на универсални метаспособи с големи възможности за пренос. Той предлага следната класификация на общоучебните умения и навици: .[ 2, стр. 14]
Учебно- организационни. Към тях се отнасят уменията да се планират действията, да се набелязват задачите на дейността , да се създават благоприятни условия за тяхното изпълнение и др.
Учебно- информационни. Към тях спадат уменията за работа с книги, справочници, речници, уменията да се правят наблюдения, библиографски справки и др.
Учебно- интелектуални. Тук се включват уменията за възприемане на информация, за логическо осмисляне на учебното съдържание и определяне в него на главното и др. [ 1, стр.7-8]
Извънкласната и извънурочната работа по математика може да бъде мощно средство за преодоляване на някои слаби страни, свързани с формирането и развитието на общоучебни умения.
Модел на интерактивен метод е Клуб за извънкласна и извънурочна работа по математика „ Процент и половина”.
Цел на клуба е да позволи на младите хора да придобият знания и умения чрез собствената си дейност да участват информирано и отговорно в общоучилищния и обществения живот.
Основните задачи са:
1. Да се организират интересни и атрактивни извънкласни и извънучилищни дейности за ангажираност на свободното време на учениците, за свързване на обучението с живота.
2. Да се създадат възможности за развитие на учениковата личност, провокиране и отприщване на творческия и потенциал.
3. Да се установи партньорство с други училища, с клубове по интереси, с университети, с предприятия, с родители.
Членството в клуба е свободно, всеки от участниците го приема като „ Добавена стойност”. Клубът има изградена формална структура, избира свое ръководство за една календарна година, дейността му е перманентна.
Видове дейности:
Дейности по направление „ Математически маршрути”:
Тези дейности са свързани с подготовката и провеждането на състезанието „ Математически маршрути”. Включват подготовка на банка задачи, конструиране на „ маршрути”, изработване на сценарий за празника- състезание, презентации, сформиране и подготовка на отбори, театрални етюди, свързани с историята на математиката, организиране на домакинство за състезанието. Чрез участие в тези дейности у учениците се формират и развиват учебно- организационни умения и навици, умения да планират дейността си, да изпълняват възложените задачи и дейности. Така наречените „ вертикални игри” изискват „ изминаването„на маршрут от всеки отбор, като целта е всеки да достигне до „ върха”. Маршрутът обаче изисква последователност на действията, не позволява прескачане на етапи: верният отговор на всяка задача се съдържа в условието на следващата, а също така и умения за работа в екип . Един примерен маршрут за отбор от десети клас може да бъде :
Дейностите по направление „ Лично творчество” отприщват творческия потенциал, насърчават възможностите и инициативата на младите хора, като им осигуряват подкрепа за осъществяването на творчески и новаторски проекти, които се разработват и изпълняват от самите тях. Стихотворения , есета, театрални етюди, авторски логически задачи се представят на празника- състезание „ Математически маршрути” и в сайта на клуба. Чрез тези дейности се формират учебно- интелектуални и учебно- информационни умения.
Дейностите по направление „ Web Пространство” са свързани с изработване и постоянно обновяване на сайта на клуба и водят до формирането на предметни( специални) умения. В основата на общоучебните умения стоят както предметни, така и междупредметни знания. Често дадено умение се формира като специално, а след това преминава в групата на общоучебните умения.
Дейностите „ Активности Up” включват извънкласна работа за насочване и подговка за участие в олимпиади и състезания. Работи се върху развитие на:
- умения за извършване на различни операции с числа и изрази;
- умения за решаване на уравнения, неравенства, системи от уравнения и неравенства;
- умения за съставяне на математически модели;
- умения за логическа организация на математически материал;
- умения за планиране и организиране на собствената дейност;
- умения да взема решения самостоятелно и да решава успешно проблеми;
- умения личността да бъде гъвкава, мобилна в една променяща се среда;
Формират се умения и способности у учениците за предвиждане поведението на обектите и системите, за предвиждане развитието на начините и процесите за преобразуване на действителността така, че да бъдат получени предварително заплануваните резултати. Това е важна предпоставка за изграждане на информационно- съдържателната страна на интелекта.
Направлението „ Международна дейност” включва участието на клуба в национални и международни проекти, установяването на партньорство и сътрудничество с клубове с подобен род дейност. През изминалия период се установиха такива с Академия по математика град Мадрид. Развиват се такава група умения и навици, които имат широка сфера на приложение, умения личността да бъде социално отговорна, да избира, да прилага конструктивни лични стратегии, умения да комуникира и да работи ефективно в екип.Всичко това води до развитие на интелекта на ученика по посока на нестандартното, алтернативно и творческо мислене и поведение.
Направлението „ Популяризиране на дейността” включва отразяване на дейността на клуба чрез изработване на презентации, чрез публикуване на статии . Тези дейности са от изключително значение за формиране на компонентите на общоучебните умения, а също така и за развитието на интелекта.
Участието в различните направления на дейност на клуба дава възможност на учениците за широка променливост в изпълнението на дадено умение, за вътрешни преобразувания и по този начин до подобряването му. Ефективността на формираното умение е правопропорционално на гъвкавостта на приложение и на комбинирането на дейностите по различни и понякога непредвидими начини. Развитото умение се проявява в богато на импровизации извършване на съставни действия. Разнообразието поддържа интереса към самия процес на осъществяване на умението. Да се импровизира в упражняванетона дадено умение значи да се обогати с игрово съдържание, което увеличава неговата привлекателност [2; стр. 57]. Важно условие за оптималността на тази извънкласна работа е рационалното разпределение на функциите и различните задачи между всички ученици, осигуряването на единство, еднопосочност и плътност на техните действия.
Организацията на „вертикалните игри” „Математически маршрути” съдържателно- целевата, но и организационно- управленската страна се намират в органично единство,непрекъснато се развиват, променят и еволюират.
Дейността на Клуб „ Процент и половина” мотивира учениците за постигане на по- високи резултати по математика. С нетърпение поставят въпроса за организиране на поредното издание на празника; отговорно подхождат към формиране на отборите, подготовката на презентациите и тренинга на отбора; проявяват креативност и оригиналност към цялостното представяне на отбора и на целия клас.
Налагат се следните изводи:
- Извънкласната и извънурочна работа по математика е мощно средство за преодоляване на някои слаби страни в обучението, гарантиращо формиране и развитие на общоучебните умения и навици;
- Основният индикатор за успеха на разработения модел за извънкласна и извънурочна работа е броят на участниците, интересът към различните направления на дейност и организираните мероприятия, и порастналите постижения по математика на участниците в клуба.
Цялостната четиригодишна дейност на Клуб „ Процент и половина”, ежегодните издания на „ Математически маршрути”, успешните участия на учениците в състезания и олимпиади доказват, че извънкласната и извънучилищна работа по математика е важно условие за развитие на интелектуалната воля и емоционалния компонент от структурата на личността, за формиране и развитие на умения и навици.
Литература
1. Бабанский, Ю. К. Рациональная организация учебной деятельности. – сп. Педагогика и психология, 1981
2. Петров, П. Формиране на умения за решаване на задачи от училищния курс по математика. Изд. „ Кота” , Стара Загора, 2003
3. Петров, П. Формиране на умения за решаване на математически задачи. ИПКУ, Стара Загора, 2001
4. Радев, Пл. Педагогика. Изд. Къща „ Хермес” , Пловдив, 20035. Стефанова, М. Педагогическата инова
Абонамент за:
Публикации (Atom)